bài giảng toán kinh tế

Slide bài giảng kiểm toán ĐH KINH TẾ TPHCM Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.49 MB, 202 trang ) Bài giảng Toán rời rạc - Bài 3: Kỷ thuật đếm nâng cao - Nguyễn Văn Hiệu; Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 5: Hàm nhiều biến - Nguyễn Ngọc Lam; Bài giảng Toán rời rạc - Bài 10: Bài toán người du lịch - Nguyễn Văn Hiệu; Giáo trình Giải tích 2 - Tạ Lê Lợi Trích bài giảng KIÊN ĐỊNH VỚI ĐIỀU THIỆNLink: https://www.youtube.com/watch?v=882XwYhy3_AKIÊN ĐỊNH LÒNG KÍNH PHẬT1:07:34-1:09:21 Kiên định Vay 5s Online. Dưới đây là tổng hợp các file tài liệu môn Toán kinh tế 2 mà mình sưu tầm được. Các bạn nhấn vào nút để tải file về nhé, File trên Scribd chỉ là để xem trước Ah In pode ser preso... kpopPlease enable JavaScriptYoo Ah In pode ser preso... kpopNội dung1. Bài giảng Toán kinh tế 22. Bài tập3. Tài liệu ôn tập cuối kỳ1. Bài giảng Toán kinh tế 2Các bạn xem toàn bộ file trong thư mục nhéTẢI BÀI GIẢNG2. Bài tậpTẢI BÀI TẬP3. Tài liệu ôn tập cuối kỳTrong thư mục bao gồm cả file tài liệu và record ôn tập cuối kỳ. Mọi người vào xem TÀI LIỆU ÔN TẬPTài liệu môn Quản lý chất lượng ngành may Nội dung Text Bài giảng Toán kinh tế - Nguyễn Hải Đăng Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định Chương 1. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Bài toán quy hoạch tuyến tính Một số mô hình thực tế A. Bài toán lập kế hoạch sản xuất Một cơ sở có thể sản xuất hai loại sản phẩm A và B, từ các nguyên liệu I, II, III. Chi phí từng loại nguyên liệu và tiền lãi của một đơn vị sản phẩm, cũng như dự trữ nguyên liệu cho trong bảng sau đây Nguyên liệu I II III Lãi Sản phẩm A 2 0 1 3 B 1 1 0 5 Dự trữ 8 4 3 Hãy lập bài toán thể hiện kế hoạch sản xuất sao cho có tổng số lãi lớn nhất, trên cơ sở dự trữ nguyên liệu đã có. Lập bài toán Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm A và B được sản xuất x, y ≥ 0 , đơn vị sản phẩm. Khi đó ta cần tìm x, y ≥ 0 sao cho đạt lãi lớn nhất. f X = 3 x + 5 y → max với điều kiện nguyên liệu 2 x + y ≤ 8; 1. y ≤ 4; ≤ 3; Tức là cần giải bài toán f X = 3 x + 5 y → max ⎧2 x + y = 8; ⎪ y ≤ 4; ⎪ với điều kiện ⎨ ⎪ x ≤ 3; ⎪⎩ x, y ≥ 0; -1- Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định B. Bài toán phân công lao động Một lớp học cần tổ chức lao động với hai loại công việc xúc đất và chuyển đất. Lao động của lớp được chia làm 3 loại A, B, C, với số lượng lần lượt là 10, 20, 12. Năng suất của từng loại lao động trên từng công việc cho trong bảng dưới đây Lao động A10 B20 C12 Công việc Xúc đất 6 5 4 Chuyển đất 4 3 2 Hãy tổ chức lao động sao cho có tổng năng suất lớn nhất. Lập bài toán Gọi xij là số lao động loại j làm công việc ij=1,2;xij ≥ 0 , nguyên. Khi đó, năng suất lao động của công việc đào đất sẽ là 6 x11 + 5 x12 + 4 x13 ; còn chuyển đất sẽ là 4 x 21 + 3 x 22 + 2 x 23 ; Ta thấy rằng để có năng suất lớn nhất thì không thể có lao động dư thừa, tức là phải cân bằng giữa hai công việc. Vì vậy ta có bài toán sau 6 x11 + 5 x12 + 4 x13 → max; ⎧6 x11 + 5 x12 + 4 x13 − 4 x21 + 3 x22 + 2 x23 = 0; ⎪ x + x = 10; ⎪ 11 21 với điều kiện ⎨ ⎪ x12 + x22 = 20; ⎪⎩ x13 + x23 = 12; C. Bài toán khẩu phần thức ăn Một khẩu phần thức ăn có khối lượng P, có thể cấu tạo từ n loại thức ăn. Gía mua một đơn vị thức ăn loại j là cj. Để đảm bảo cơ thể phát triển bình thường thì khẩu phần cần m loại chất dinh dưỡng. Chất dinh dưỡng thứ i cần tối thiểu cho khẩu phần là bi và có trong một đơn vị thức ăn loại j là aij. Hỏi nên cấu tạo một khẩu phần thức ăn như thế nào để ăn đủ no, đủ chất dinh dưỡng mà có giá thành rẻ nhất. Lập bài toán Gọi xj xj ≥ 0 là số đơn vị thức ăn loại j được cấu tạo trong khẩu phần. Khi đó, giá thành của khẩu phần là -2- Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định n f X = ∑cjxj; j =1 Vì phải đảm bảo thoả mãn điều kiện đủ no và đủ chất, tức là n n ∑x j =1 j =P, ∑ aij x j ≥ b j , i = 1, m. j =1 n Ta có bài toán sau f X = ∑ c j x j → min j =1 ⎧ n x = P; ⎪∑ j =1 j ⎪ n ⎪ với điều kiện ⎨ ∑ a ij x j ≥ b i , i = 1, m ; ⎪ j =1 ⎪ x j ≥ 0 , j = 1, n ; ⎪⎩ Ta thấy rằng ba bài toán trên đều thuộc bài toán tổng quát. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát Bài toán tổng quát của QHTT có dạng n f X = ∑ c j x j → min max j =1 ⎧ n a x = b , i = 1, k ⎪∑ j =1 ij j i ⎪ n ⎪ với điều kiện ⎨ ∑ a ij x j ≥ bi , i = k + 1, m ⎪ j =1 ⎪ x j ≥ 0, j = 1, r , r ≤ n ⎪⎩ Để phân biệt tính chất của các ràng buộc đối với một phương án, ta làm quen với hai khái niệm ràng buộc chặt và ràng buộc lỏng. Định nghĩa 1 Nếu đối với phương án x mà ràng buộc i thỏa mãn với dấu đẳng n thức, nghĩa là ∑a x j =1 ij j = bi thì ta nói phương án x thỏa mãn chặt ràng buộc i Nếu đối với phương án x mà ràng buộc i thỏa mãn với dấu bất đẳng thức thực sự, n nghĩa là ∑a x j =1 ij j > bi thì ta nói phương án x thỏa mãn lỏng ràng buộc i Định nghĩa 2 Ta gọi một phương án thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính là phương án cực biên. Một phương án cực biên thỏa mãn chặt đúng n ràng buộc -3- Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định gọi là phương án cực biên không suy biến, thỏa mãn chặt hơn n ràng buộc gọi là phương án cực biên suy biến. Định nghĩa 3 Một phương án mà tại đó hàm mục tiêu đạt cực tiểu cực đại gọi là phương án tối ưu. Bài toán có ít nhất một phương án tối ưu gọi là bài toán giải được, bài toán không có phương án hoặc có phương án nhưng hàm mục tiêu không bị chặn dưới trên trên tập phương án gọi là không giải được. Để nhất quán trong lập luận, ta xét bài toán tìm cực tiểu, sau đó ta xét cách đưa bài toán tìm cực đại về bài toán tìm cực tiểu. * Chuyển bài toán tìm cực đại về bài toán tìm cực tiểu Nếu gặp bài toán tìm max, tức là n f X = ∑ c j x j → max j =1 X ∈M thì giữ nguyên ràng buộc, ta đưa nó về dạng bài toán tìm min n g X = − f X = − ∑ c j x j → min j =1 X ∈M Chứng minh Nếu bài toán tìm min có phương án tối ưu là X* thì bài toán tìm max cũng có phương án tối ưu là X* và gX= - fX. Thật vậy, X* là phương án tối ưu của bài toán tìm min, tức là n n f X = ∑ c j x ≤ ∑ c j x j , ∀X ∈ M * * j j =1 j =1 n n ⇒ − ∑ c j x ≥ ∑ c j x j , ∀X ∈ M * j j =1 j =1 hay − f X * = g X * ≥ g X , ∀X ∈ M Vậy X* là phương án tối ưu của bài toán max và n f max = −∑ c j x*j = −g min j =1 Dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính -4- Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định Người ta thường xét bài toán QHTT dưới dạng sau n f X = ∑ c j x j → min j =1 ⎧ n a x = b , i = 1, m ∑ với điều kiện ⎪⎨ j = 1 ij j i ⎪ x j ≥ 0 , j = 1, n ⎩ Bài toán được gọi là Bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc. Kí hiệu ma trận hàng c = c1 , c2 ,..., cn 1×n và các ma trận ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1j ⎞ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ ⎜a ⎟ x = ⎜ ⎟ , b = ⎜ ⎟ , A = aij m×n , Aj = ⎜ ⎟ j = 1, n 2 2 2j ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ x ⎝ n⎠ b ⎝ m⎠ ⎝ amj ⎠ Ta có bài toán ở dạng ma trận như sau fx = cx → min ⎧ Ax = b Với điều kiện ⎨ ⎩x ≥ 0 và bài toán ở dạng véc tơ như sau fx = cx → min ⎧ A1 x1 + A2 x2 + .... + An xn = b Với điều kiện ⎨ ⎩ x1 , x2 ,..., xn ≥ 0 Đối với bài toán dạng chính tắc ta có một số tính chất và khái niệm quan trọng của phương án cực biên như sau Tính chất 1 Nhận dạng phương án cực biên Phương án x của bài toán dạng chính tắc là cực biên khi và chỉ khi hệ thống các véc tơ { Aj x j > 0} độc lập tuyến tính. Với giả thiết hạng[A] = m thì một phương án cực biên không suy biến có đúng m thành phần dương, suy biến có ít hơn m thành phần dương. Chứng minh Lấy một phương án x bất kì, giả sử p thành phần đầu của x là dương, tức là x j > 0 j = 1, p , suy ra xk = 0 k = p + 1, n . Thành lập ma trận tương ứng với các ràng -5- Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định buộc chặt của phương án x bao gồm m ràng buộc đẳng thức và n - p ràng buộc chặt về dấu , kí hiệu là C, ta có ⎡ a11 a12 ... a1 p a1 p +1 a1 p + 2 ... a1n ⎤ ⎢a a22 ... a2 p a2 p +1 a2 p + 2 ... a2 n ⎥ ⎢ 21 ⎥ m ⎢ ... ... P ... ... ... ... ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ am1 am 2 ... amp amp +1 amp + 2 ... amn ⎥ C=⎢ 0 0 ... 0 1 0 ... 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 ... 0 0 1 ... 0 ⎥ ⎢ 0 0 ... 0 0 0 ... 0 ⎥ n-p ⎢ ⎥ ⎢ ... ... ... ... ... ... ... ... ⎥ ⎢ 0 0 ... 0 0 0 ... 1 ⎥⎦ ⎣ Theo cách tính hạng của ma trận thì hạng[C] = n – p + hạng[P] Từ định nghĩa suy ra, x là phương án cực biên khi và chỉ khi hạng[C] = n, nghĩa là khi { } và chỉ khi hạng[P] = p, nói cách khác thì Aj j = 1, p hay { Aj x j > 0} độc lập tuyến tính. Từ đây đối với bài toán dạng chính tắc, không mất tính tổng quát , ta giả thiết • Hệ có đúng m phương trình độc lập tuyến tính. • ∀bi ≥ 0, i = 1, m • m 0} Tính chất 2 Tính hữu hạn của số phương án cực biên Số phương án cực biên của mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều hữu hạn Thật vậy Vì mỗi phương án cực biên đều tương ứng với một hệ n ràng buộc chặt độc lập tuyến tính, số hệ gồm n phương trình độc lập tuyến tính là hữu hạn, do đó số phương án cực biên cũng là hữu hạn. Tính chất 3 Sự tồn tại phương án tối ưu Nếu bài toán dạng chính tắc có phương án và hàm mục tiêu bị chặn dưới trên tập phương án thì bài toán có phương án cực biên tối ưu. Thật vậy, giả sử bài toán có các phương án cực biên là x1 , x 2 ,..., x k . { Đặt f xl = Min f x i i = 1, k . } Do tập nghiệm hay tập phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính của hệ ràng buộc là một đa diện lồi, cho nên mọi nghiệm phương án x đều có thể phân tích thành k k x = ∑ λi x , ∑ λi = 1 i i =1 i =1 k k k Suy ra f x = f ∑ λi x = ∑ λi f x ≥ ∑ λi f xl = f xl ∀x ∈ M i i i =1 i =1 i =1 Vậy xl chính là phương án cực biên tối ưu. Một lớp quan trọng của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là bài toán dưới đây gọi là bài toán dạng chuẩn -7- Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định n f x = ∑ c j x j → min j =1 ⎧ x1 + a 1m +1 x m +1 + a 1m +2 x m +2 + ... + a 1 n x n = b1 ⎪ x2 + a 2m +1 x m +1 + a 2m +2 x m +2 + ... + a 2 n x n = b 2 ⎪ ⎪ ... ................. ................. ..................... ⎨ ⎪ xm + a mm +1x m+1 + a m m+2 x m+2 + ... + a m n x n = b m ⎪ ⎪⎩ x j ≥ 0 , j = 1, n trong đó bi ≥ 0i = 1, m , nghĩa là bài toán dạng chính tắc có vế phải không âm và mỗi phương trình đều có một biến số với hệ số bằng 1 đồng thời không có trong các phương trình khác gọi là biến cô lập với hệ số bằng 1. Từ hệ phương trình ràng buộc của bài toán dễ dàng suy ra một phương án x 0 = b1 , b2 ,..., bm ,0,0,...,0 Đây chính là một phương án cực biên có hệ cơ sở tương ứng là ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ A1 = ⎜ ⎟ , A2 = ⎜ ⎟ ,..., Am = ⎜ ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠ Đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chính tắc Phương pháp Ta có thể đưa bài toán tuyến tính tổng quát về bài toán tuyến tính dạng chính tắc tương đương nhờ các quy tắc sau • Nếu có max fX thì đổ thành {min − f X }. n n • Nếu có bất đẳng thức ∑a x j =1 ij j ≥ bi hoặc ∑a x j =1 ij j ≤ bi thì ta đưa thêm ẩn phụ xn+i ≥ 0 ,với hệ số hàm mục tiêu cn+i = 0 để có n n ∑a x j =1 ij j − xn +i = bi hoặc ∑a xj =1 ij j + xn+i = bi ; • Nếu có ẩn xk chưa ràng buộc về dấu, thì ta có thể thay nó bởi hai biến mới xk và xk không âm, theo công thức ' " xk = xk - xk . ' " Ví dụ Đưa bài toán sau về dạng chính tắc min { x1 − x2 − x3 } ; -8- Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định ⎧ 6 x11 + 5 x12 + 4 x13 − 4 x 21 + 3 x 22 + 2 x 23 = 0; ⎪ x + x + x = 5; ⎪⎪ 1 2 3 với điều kiện ⎨ x1 − 2 x 2 + x3 ≤ 3; ⎪ x + x − x ≥ 4; ⎪ 1 2 3 ⎪⎩ x1 , x3 ≥ 0; Giải Ta thấy có bất đẳng thức x1 − 2 x2 + x3 ≤ 3 nên ta đưa thêm ẩn phụ x4 , x5 ≥ 0 Mặt khác, có ẩn x2 chưa ràng buộc về dấu, do đó ta thay x2 bởi x2' − x2" . Khi đó, bài toán ban đầu được chuyển về dạng sau x1 − x2' + x2" − x3 → min ⎧ x1 + x 2' − x 2" + x 3 = 5 ⎪ ⎪ x1 − 2 x 2 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = 3 ' " với điều kiện ⎨ ⎪ x1 + x 2 − x 2 − x 3 − x 5 = 4 ' " ⎪ x , x ' , x" , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 2 3 4 5 Ví dụ Đưa bài toán QHTT sau về dạng chính tắc 2 x1 − x2 + 2 x3 + x4 − 2 x5 → min ⎧ x1 − 2 x2 + x3 + 2 x4 + x5 ≤ 71 ⎪ x + 2 x + x ≥ −12 ⎪ 2 3 4 ⎪⎪2 x3 + x4 + 3 x5 ≥ 103 với điều kiện ⎨ ⎪ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 20 ⎪ x1 , x5 ≥ 0 ⎪ ⎪⎩ x4 ≤ 0 Giải Vì x2, x3 chưa ràng buộc về dấu nên ta thay x2 bởi x2' − x2" x2' , x2" ≥ 0 , x3 bởi x3' − x3" x3' , x3" ≥ 0 , x4 ≤ 0 nên thay x4 bởi − x4' x4' ≥ 0 . Vì có các bất đẳng thức 1, 2, 3 nên ta thêm các ẩn phụ x6, x7, x8. Từ đó, ta được bài toán sau 2 x1 − x2' − x2" + 2 x3' − x3" − x4' − 2 x5 → min -9- Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định ⎧ x1 − 2 x2' − x2" + x3' − x3" − 2 x4' + x5 + x6 = 7 ⎪ ' ⎪ x2 − x2 + 2 x3 − x3 − x4 − x7 = −1 " ' " ' ⎪ Với điều kiện ⎨2 x2' − x2" − x4' + 3 x5 − x8 = 10 ⎪ x + x ' − x" − 2 x ' − x" − x ' = 20 ⎪ 1 2 2 3 3 4 ⎪⎩ x1 , x5 , x6 , x7 , x8 , x2 , x2 , x3 , x3 , x4 ≥ 0 ' " ' " ' Phương pháp đơn hình Tư tưởng của phương pháp đơn hình Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc n f x = ∑ c j x j → min j =1 ⎧ n ⎪∑ aij x j = bi , i = 1, m ⎨ j =1 ⎪x ≥ 0 ⎩ j Dạng véctơ của bài toán f x = cx → min ⎧ n Với điều kiện ⎪∑ Aj x j = b ⎨ j =1 ⎪ x ≥ 0, j = 1, n ⎩ j Ta đã biết rằng - Nếu bài toán có phương án thì có phương án cực biên - Nếu bài toán có phương án tối ưu thì cũng có phương án cực biên tối ưu. Số phương án cực biên là hữu hạn. Do đó, ta có thể tìm một phương án tối ưuhay một lời giải của bài toán trong tập hợp các phương án cực biên. Tập hợp này là hữu hạn. Vì vậy Dantzig đề xuất thuật toán đơn hình như sau Xuất phát từ một phương án cực biên x0. Kiểm tra xem x0 có là phương án tối ưu hay chưa. Nếu x0 chưa phải là phương án tối ưu thì tìm cách cải tiến nó để được phương pháp khác là x1 tốt hơn x0, tức là fx1 0. Ta có j 0 n AX 0 = b hay b = ∑ x 0j Aj = ∑x 0 j Aj 1 j =1 j∈J 0 vì x 0j = 0∀j ∉ J 0 . Với mỗi k ∉ J 0 , ta biểu diễn véc tơ Ak qua các véc tơ cơ sở {A , j ∈ J } j 0 Ak = ∑z j∉J 0 jk A j ∀k ∉ J 0 Gỉa sử x ∈ M là một phương án bất kỳ. Ta có n b = ∑ x j Aj = ∑ x j Aj + ∑ xk Ak = ∑x A +∑x ∑z j j k jk Aj = ∑ x + ∑ z j jk xk Aj 2 j =1 j∈J k∉J j∈J 0 k∉J 0 j∈J 0 j∈J 0 k∉J 0 Vì { Aj , j ∈ J 0 } độc lập tuyến tính nên từ 1 và 2 suy ra x 0j = x j + ∑ z jk xk ∀j ∈ J 0 k∉J Hay x j = x j − ∑ z jk xk ∀j ∈ J 0 0 3 k∉J Khi đó, ta có n f x = ∑ c j x j = ∑c x + ∑c x j j k k 4 j =1 j∈J 0 k∉J 0 Thay 3 vào ta được n n f x = ∑ x − ∑ z jk xk c j + ∑ ck xk = ∑ c j x 0j − ∑ ∑ z jk c j − ck xk 0 j j =1 k∉J 0 k∉J 0 j =1 k∉J 0 j∈J 0 Ký hiệu Δk = ∑z j∈J 0 jk c j − ck k ∉ J 0 gọi là ước lượng của véc tơ cột Ak theo cơ sở J và f x = f x 0 − ∑ Δ k xk k∉J 0 - 11 - Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định Nhận xét Do x ≥ 0 nên nếu ∀k ∉ J 0 , Δ k ≤ 0 thì f x ≥ f x 0 , ∀x ∈ M do đó ta có dấu hiệu tối ưu sau đây Phương án cực biên x0 với cơ sở J0 là phương án tối ưu khi và chỉ khi Δk ≤ 0, ∀k ∉ J 0 . Công thức biến đổi. Bảng đơn hình Giả sử x0 với cơ sở J là một phương án cực biên nhưng chưa phải là phương án tối ưu, khi đó ∃k ∉ J 0 sao cho Δk > 0 . Giả sử s là một chỉ số trong các chỉ số nói trên s ∉ J0 , Δs > 0 . Theo thuật toán trên ta cần cải tiến x0 để nhận được một phương án cực biên mới tốt hơn. Ta sẽ tìm một phương án cực biên mới x1 ứng với cơ sở J1 chỉ khác J một véc tơ J 1 = J 0 \ r ∪ s , tức là ta đưa véc tơ As vào cơ sở thay cho véc tơ Ar bị loại ra khỏi cơ sở J. Vì mọi thành phần ngoài cơ sở của một phương án cực biên đều bằng 0 nên phương án cực biên mới x1 có cơ sở J 1 = J \ r ∪ s là ⎧0 víi k ∉ J 0 , k ≠ støc lμ k ∉ J1 x =⎨ 1 k 5 ⎩θ víi k = s Trong đó θ là một số dương sẽ được xác định sau sao cho x1 là một phương án cực biên. * Tìm điều kiện của θ để x1 là một phương án Thay 5 vào 3 ta được x1j = x 0j − ∑ z jk .x1k = x 0j − θ z js ∀j ∈ J 0 k ∉J 0 ⎧0 víi j ∉ J 0 , j ≠ støc lμ j ∉ J1 ⎪ = ⎨θ víi j = s 1 Hay x j 6 ⎪x 0 − θ z víi j ∈ J ⎩ j js 0 Để x1 là một phương án thì nó phải thỏa mãn các điều kiện buộc Ax=b và x ≥ 0. + Ta thấy rằng với mọi θ , ta có Ax1 = ∑ x1j Aj + ∑ x1j Aj = ∑ x 0j − θ z js A j + θ As = ∑x 0 j A j − θ ∑ z js A j + θ As = b − θ As + θ As = b j∈J j∉J j∈J j∈J 0 j∈J 0 Vậy với mọi θ thì ràng buộc thứ nhất thỏa mãn. Ta chỉ cần tìm θ sao cho x1 ≥ 0. Có hai trường hợp xảy ra - 12 - Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định + Trường hợp 1 Nếu zjs ≤ 0 với mọi j ∈J thì x1 ≥ 0 với mọi θ > 0 và x1 là phương án của bài toán. Nhưng do Δ s > 0 f x1 = f x 0 − ∑ k∉J0 Δ k x 1k = f x 0 − Δ sθ → − ∞ k h i θ → + ∞ Như vậy hàm mục tiêu không bị chặn dưới trên miền ràng buộc. Khi đó bài toán không có lời giải hữu hạn. + Trường hợp 2 Nếu ∃j ∈ J 0 để zjs > 0, khi đó theo 6 số θ không thể lớn tùy ý, nó phải thỏa mãn x j − θ z js ≥ 0, ∀j ∈ J 0 mà z js > 0 . Giá trị θ lớn nhất chỉ có thể bằng 0 ⎧⎪ x 0j ⎫⎪ min ⎨ j ∈ J 0 mà z js > 0 ⎬ ⎩⎪ z js ⎪⎭ Nếu vượt qua miền đó sẽ có một trong các x 0j − θ z js 0. z rs Rõ ràng, phương án x1 được xác định theo công thức 7 là phương án cực biên với cơ sở J 1 = J 0 \ r ∪ s . Thật vậy, theo 7 suy ra x1r = 0 nên J + X 1 ⊆ J 1 với J+X = { j x j > 0} . Ta cần chứng minh hệ véc tơ { Aj , j ∈ J 1} độc lập tuyến tính. - 13 - Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định + Thật vậy, giả sử ∑α x 1 j j = 0 ta cần chứng minh α j = 0∀j ∈ J 1 . Ta có j∈J 0= ∑α j xj = ∑ j∈J , j ≠ r α j x j + α s xs = ∑ j∈J 0 , j ≠ r α j x j + α s ∑ z js Aj = j∈J 0 ∑ j∈J 0 , j ≠ r α j −α s z js Aj + α s zrs Ar j∈J 1 Vì hệ véc tơ { Aj , j ∈ J 0 } độc lập tuyến tính, nên ⎧⎪α j − α s z js = 0∀j ∈ J 0 , j ≠ r ⎨ ⎪⎩α s zrs = 0 Vì zrs > 0 nên suy ra α s = 0 , do đó α j = 0 j ∈ J , j ≠ r . Vậy α j = 0∀j ∈ J 1 = J 0 \ r ∪ s . Vì J + X 1 ⊆ J 1 nên hệ véc tơ {A , j ∈ J j + X 1 } độc lập tuyến tính. Do đó x là 1 phương án cực biên và J1 là cơ sở của phương án cực biên x1. Như vậy x1 là một phương án cực biên của bài toán. ở trên ta đã tìm các thành phần của phương án cực biên mới x1 cùng với giá trị hàm mục tiêu fx1 thông qua các hệ số khai triển zjk và các ước lượng Δ k trong cơ sở J. Như vậy chúng ta cần xác định các đại lượng z1jk và Δ1k trong cơ sở J1. Theo định nghĩa zjk và z1jk là các hệ số khai triển của véc tơ Ak tương ứng với cơ sở J, J1. Ak = ∑z j∈J 0 jk Aj = ∑z 1 1 jk Aj * j∈J ∑z j∈J 0 jk Aj = ∑ j∈J 0 , j ≠ r z jk Aj + zrk Ar ** Từ 1 ⎛ ⎞ As = ∑z js Aj = ∑ A j z js + z rs Ar vì z rs > 0tacó A r = z rs ⎜ As − ∑ z js A j ⎟ . j∈ J 0 j∈ J 0 , j ≠ r ⎝ j∈ J 0 , j ≠ r ⎠ Thay vào ** ta được zrk ∑z j∈J 0 jk Aj = ∑ j∈J 0 , j ≠ r z jk Aj + zrs As − ∑ z js Aj j∈J 0 , j ≠ r zrk z *** = ∑ j∈J 0 , j ≠ r z jk − zrs .z js Aj + rk . As zrs Vì { Aj , j ∈ J 1} độc lập tuyến tính nên từ * và ** suy ra - 14 - Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định ⎧ z rk ⎪z víi j = s ⎪ x1jk = ⎨ rs ⎪ z − z rk z víi j ∈ J 0 , j ≠ r ⎪⎩ jk z rs js ⎛ zrk ⎞ z Δ1k = ∑z 1 jk c j − ck = ∑ ⎜ z jk − j∈J 0 , j ≠ r ⎝ zrs z js ⎟c j + rk cs − ck zrs j∈J 1 ⎠ ⎛ zrk ⎞ z ⎛ z ⎞ = ∑⎜z jk − zrs z js ⎟c j + rk cs − ck zrs vì j=r thì ⎜ z jk − rk z js ⎟ = 0 zrs j∈J 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ zrk zrk = ∑ z jk c j − ck − ∑z js c j − cs = Δ k − Δs . j∈J 0 zrs j∈J 0 zrs zrk Vậy Δ1k = Δ k − Δs . zrs Để thuận tiện cho việc tính toán, người ta sắp xếp các số liệu thành một bảng gọi là bảng đơn hình như dưới đây Hệ Cơ Phương c1 c2 .... ck cs cn số sở án A1 A2 ... Ak As An c j1 Aj1 x j1 z j11 z j1 2 ... z j1k ... z j1s ... z j1n ... c j2 Aj2 x j2 z j2 1 z j2 2 z j2 k ... z j2 s ... z j2 n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... c jr Ajr x jr z jr 1 z jr 2 ... z jr k ... z jr s ... z jr s ... ... ... ... ... ... ... ... ... c jm z jm 1 z jm 2 z jmk ... z jm s ... z jm s Ajm x jm fx Δ1 Δ 2 ... ... Δk Δ s ... Δn Các cột ứng với j∈J sẽ là các véc tơ đơn vị với số 1 trên dòng với chỉ số j. Chú ý Đối với bài toán dạng chuẩn, ta có ngay một phương án cực biên x 0 = b1 , b2 ,..., bm ,0,0,...,0 với hệ véc tơ cơ sở tương ứng là A1 , A2 ,..., Am . Đây là các véc tơ đơn vị nên trong bảng đơn hình xuất phát ta có z jk = a jk - 15 - Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định Thuật toán đơn hình Bước xuất phát Tìm một phương án cực biên x0 và cơ sở J0 tương ứng . Tìm các hệ số khai triển zjk và các ước lượng Δ k . Bước 1 Kiểm tra dấu hiệu tối ưu - Nếu Δ k ≤ 0∀k ∉ J 0 thì x0 là phương án tối ưu. Thuật toán kết thúc. - Nếu ∃Δ k > 0 thì chuyển sang bước 2. Bước 2 Kiểm tra dấu hiệu hàm mục tiêu giảm vô hạn Với mỗi k ∉ J 0 mà Δ k > 0 thì kiểm tra các hệ số khai triênjk của cột Ak tương ứng a Nếu có một Δ k > 0 mà tất cả zjk ≤ 0 ∀j ∈ J 0 thì kết luận hàm mục tiêu giảm vô hạn trên miền ràng buộc. Bài toán không có lời giải hữu hạn. Thuật toán kết thúc. b ∀k ∉ J 0 mà Δ k > 0 đều tồn tại ít nhất một hệ số zjk>0 thì chuyển sang bước 3 Bước 3 Xác định cột xoay, dòng xoay, phần tử trục - Chọn chỉ số s ∉ J 0 Δ s = max {Δ k > 0, k ∉ J 0 } , đánh dấu cột s là cột xoay xr0 ⎧⎪ x 0j ⎫⎪ - Tìm chỉ số r đạt min θ = = min ⎨ , z js > 0 ⎬ , đánh dấu hàng r là hàng xoay. zrs z ⎪⎩ js ⎪⎭ Bước 4 Tính các x j , f x , Δ k , z jk trong cơ sở mới J 1 = J 0 \ r ∪ s theo các công thức 1 1 1 1 trên. Ghi nhận các kết quả trong một bảng mới. Quay trở lại bước 1. - Để nhận được bảng đơn hình mới từ bảng đơn hình cũ ta làm như sau + Thay Ar bằng As, cr bằng cs. + Chia các phần tử trên hàng xoay hàng r cho phần tử trục zrs ta được hàng r mới gọi là hàng chuẩn. + Mỗi phần tử khác ngoài hàng xoay trừ đi tích của phần tử cùng hàng với nó trên cột xoay với phần tử cùng cột với nó trên hàng chuẩn được phần tử cùng vị trí trong bảng đơn hình mới. a b bd a' = a − c d c Dòng xoay Cột xoay - 16 - Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định Tính hữu hạn của thuật toán đơn hình Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án và không suy biến thì sau hữu hạn bước lặp theo thủ tục đơn hình ta sẽ tìm thấy phương án tối ưu hoặc phát hiện ra bài toán có hàm mục tiêu giảm vô hạn hay bài toán không có lời giải hữu hạn. xr0 1 0 Thật vậy, vì bài toán không suy biến nên x 0j > 0∀j ∈ J nên θ = > 0 suy ra x ≠ x , zrs fx1>0, bài toán “M” có dạng - 17 - Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định n m f x = ∑ c j x j + M ∑ xn+i → min j =1 i =1 ⎧n ⎪∑ aij x j + x n +i = bi i = 1, m Với điều kiện ⎨ j =1 ⎪ x ≥ 0 j = 1, n ⎩ j Bài tóan “M” có ngay phương án cực biên xuất phát 0 x = 0;0;....;0; b1; b2 ;.....bm với cơ sở J0 là Em =An+1; An+2;....;An+m; J0 = {n+1; n+2; ....;n+m} Do vậy áp dụng được thuật toán đơn hình để giải bài toán “M”. Từ cách xây dựng bài toán “M” như trên ta thấy 0 Nếu x = x1; x2 ;.....xn ;0;0;....;0 là phương án của bài toán “M” thì x = x1; x2 ;.....xn là phương án của bài toán ban đầu và ngược lại, đồng thời fx = f x . Mối quan hệ giữa bài toán “M” và bài toán ban đầu • Nếu bài toán “M” có x = x1* , x2* ,...., xn* ,0,0,....,0 là phương án tối ưu thì bài * toán ban đầu có x* = x1* , x2* ,...., xn* là phương án tối ưu và f x = f x* . * • Nếu bài toán “M” có x = x1* , x2* ,...., xn*+ m trong đó tồn tại ít nhất một * xn+i* > 0 i = 1, m thì bài toán ban đầu không có phương án tối ưu bài toán không giải được. • Nếu bài toán “M” vô nghiệm thì bài toán ban đầu cũng vô nghiệm. Chú ý • Nếu bài toán ban đầu có nghiệm x* thì nghiệm này chỉ có thể nhận được sau ít nhất m + 1 bảng đơn hình. • Nếu ma trận hệ số aij đã chứa m1 véc tơ đơn vị m1 MIN 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 6 x2 - x4 + x5 + x6 = 3 x1 -4x4 + 2x5 = 5 x1 >=0, x2 >=0, x3 >=0, x4 >=0, x5 >=0, x6 >=0 Ñaây laø baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng chuaån, ta coù ngay phöông aùn cöïc bieân x 0 = 5,0,6,0,0,3 vôùi cô sôû A3, A6, A1. Töø ñoù ta coù baûng ñôn hình xuaát phaùt nhö sau 2 -1 3 2 1 4 Heä soá Cô sôû θ A1 A2 A3 A4 A5 A6 3 A3 6 0 2 1 2 3 0 2 4 A6 3 0 1 0 -1 1 1 3 2 A1 5 1 0 0 -4 2 0 5/2 Fx 40 0 11 0 -8 16 0 Do coøn toàn taïi giaù trò Delta lôùn hôn 0 neân chöa coù phöông aùn toái öu ta caàn tìm bieán ñöa vaøo Coät coù giaù trò lôùn nhaát öùng vôùi bieán ñöa vaøo laø A5 Haøng coù giaù trò θ nhoû nhaát öùng vôùi coät ñoù laø haøng 1 2 -1 3 2 1 4 Heä soá Cô sôû θ A1 A2 A3 A4 A5 A6 1 A5 2 0 2/3 1/3 2/3 1 0 3 4 A6 1 0 1/3 -1/3 -5/3 0 1 3 2 A1 1 1 -4/3 -2/3 -16/3 0 0 - Fx 8 0 1/3 -16/3 -56/3 0 0 Do coøn toàn taïi giaù trò Delta lôùn hôn 0 neân chöa coù phöông aùn toái öu ta caàn tìm bieán ñöa vaøo Coät coù giaù trò lôùn nhaát öùng vôùi bieán ñöa vaøo laø A2 Haøng coù giaù trò θ nhoû nhaát öùng vôùi coät ñoù laø haøng 1 2 -1 3 2 1 4 Heä soá Cô sôû θ A1 A2 A3 A4 A5 A6 -1 A2 3 0 1 1/2 1 3/2 0 - - 19 - Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Toán Kinh tế - Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định 4 A6 0 0 0 -1/2 -2 -1/2 1 - 2 A1 5 1 0 0 -4 2 0 - Fx 7 0 0 -11/2 -19 -1/2 0 Phöông aùn toái öu cuûa baøi toaùn laø 5,3,0,0,0,0 Giaù trò haøm muïc tieâu ñaït ñöôïc laø Fx = 7 Bài 2 Fx = 2x1 - x2 + 3x3 + 2x4 + x5 + 4x6 => MIN 2x1 + x3 + 2x4 + 3x5 + x6 = 6 x2 - x4 + x5 = 3 - x1 + 3x4 + 2x5 ≤5 x1 >=0, x2 >=0, x3 >=0, x4 >=0, x5 >=0, x6 >=0 Chuyeån veà daïng chính taéc Fx = 2x1 - x2 + 3x3 + 2x4 + x5 + 4x6 => MIN 2x1 + x3 + 2x4 + 3x5 + x6 = 6 x2 - x4 + x5 = 3 - x1 + 3x4 + 2x5 + x7 = 5 x7 laø bieán phuï x1 >=0, x2 >=0, x3 >=0, x4 >=0, x5 >=0, x6 >=0, x7 >=0 Ñaây laø baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng chuaån, ta coù ngay phöông aùn cöïc bieân x 0 = 0,3,0,0,0,6,5 vôùi cô sôû A6, A2, A7. Töø ñoù ta coù baûng ñôn hình xuaát phaùt nhö sau Heä Cô 2 -1 3 2 1 4 0 θ soá sôû A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 4 A6 6 2 0 1 2 3 1 0 2 -1 A2 3 0 1 0 -1 1 0 0 3 0 A7 5 -1 0 0 3 2 0 1 5/2 Fx 21 6 0 1 7 10 0 0 Do coøn toàn taïi giaù trò Delta lôùn hôn 0 neân chöa coù phöông aùn toái öu ta caàn tìm bieán ñöa vaøo Coät coù giaù trò lôùn nhaát öùng vôùi bieán ñöa vaøo laø A5 Haøng coù giaù trò θ nhoû nhaát öùng vôùi coät ñoù laø haøng 1 Heä Cô 2 -1 3 2 1 4 0 θ soá sôû A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 1 A5 2 2/3 0 1/3 2/3 1 1/3 0 3 -1 A2 1 -2/3 1 -1/3 -5/3 0 -1/3 0 - 0 A7 1 -7/3 0 -2/3 5/3 0 -2/3 1 3/5 Fx 1 -2/3 0 -7/3 1/3 0 -10/3 0 Do coøn toàn taïi giaù trò Delta lôùn hôn 0 neân chöa coù phöông aùn toái öu ta caàn tìm bieán ñöa vaøo Coät coù giaù trò lôùn nhaát öùng vôùi bieán ñöa vaøo laø A4 Haøng coù giaù trò θ nhoû nhaát öùng vôùi coät ñoù laø haøng 3 Heä Cô 2 -1 3 2 1 4 0 θ - 20 - Nguyễn Hải Đăng - Khoa KHCB&KTCS Bài giảng Toán kinh tế - Trần Ngọc Minh Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán kinh tế - Trần Ngọc Minh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Tài liệu đính kèmbai_g Nội dung text Bài giảng Toán kinh tế - Trần Ngọc MinhHỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ Chủ biênPTIT TS. Trần Ngọc Minh Hà Nội 11- 2013MỤC LỤC Nội dung Trang Lời mở đầu 1 CHƯƠNG I MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 3 Đối tượng nghiên cứu của môn học. 3 Khái quát về tối ưu hoá 3 Nội dung nghiên cứu của môn học 3 Phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế 4 Ý nghĩa và khái niệm về mô hình toán kinh tế. 4 Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế 5 Cấu trúc mô hình toán kinh tế 6 Phân loại mô hình toán kinh tế 8 Nội dung của phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế 9 Phương pháp phân tích mô hình – Phân tích so sánh tĩnh 10 Áp dụng phân tích đối với một số mô hình kinh tế phổ biến 17 CHƯƠNG 2MÔ HÌNH TỐI ƯU TUYẾN TÍNH – QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH. 43 Một số tình huống trong hoạt động kinh tế và mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính. 43 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 43 Bài toán đầu tư đạt hiệu quả cao nhất 44 Bài toán vận tải 45 Bài toán lập kế hoạch sử dụng phương pháp sản xuất khác nhau 45 Mô hình bài toán qui hoạch tuyến tính. 46 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 46 Dạng chuẩn tắc và dạng chính tắc 47 Chuyển đổi dạng bài toán qui hoạch tuyến tính 48 Phương pháp hình học giải qui hoạch tuyến tính 2 biến 50 Tính chất bài toán qui hoạch PTITtuyến tính 51 Tính chất chung 51 Phương án cực biên 51 Phương pháp đơn hình. 53 Đường lối chung 53 Cơ sở của phương pháp 54 Thuật toán đơn hình 57 Tìm phương án cực biên và cơ sở ban đầu 63 Phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính dạng bất kỳ 70 Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 7 1 Cách thành lập bài toán đối ngẫu 71 Các định lý đối ngẫu 75 Các ứng dụng Phương pháp đơn hình đối ngẫu 79 Ứng dụng lý thuyết đối ngẫu. 85 CHƯƠNG 3MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI 92 Nội dung và đặc điểm 92 Tìm phương án cực biên ban đầu 95 Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải 98 Một số dạng đặc biệt của bài toán vận tải 105 CHƯƠNG 4BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MẠNG 1 19 Một số khái niệm cơ bản 119 Định nghĩa về đồ thị hữu hạn 119 Các yếu tố khác của đồ thị 120 Biểu diễn đồ thị dưới dạng ma trận 122 Bài toán đường đi ngắn nhất 124 Ý nghĩa và nội dung bài toán 124 Thuật toán Difktra 124 Mạng liên thông 127 Nội dung và ý nghĩa của bài toán 127 Thuật toán Prim 128 Bài toán luồng lớn nhất 128 Nội dung bài toán 128 Thuật toán Ford – Fulkerson 130 4. 5. Bài toán luồng nhỏ nhất 134 Bài toán 134 Phương pháp giải 134 Phương pháp sơ đồ mạng lưới Pert 136 Một số khái niệm và quy tắc lập sơ đồ mạng lưới 136 Các chỉ tiêu thời gian của sơ đồ mạng lưới 140 Kết hợp các ước tính thời gianPTIT xác suất 145 Tối ưu hóa quá trình rút ngắn đường găng 148 CHƯƠNG 5MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG 156 Bài toán lý thuyết phục vụ công cộng 156 Mô hình hoá hệ thống phục vụ công cộng. 157 Hệ thống phục vụ công cộng và các yếu tố cấu thành 157 Phân loại hệ thống 158 Trạng thái hệ thống, quá trình chuyển trạng thái 159 Sơ đồ trạng thái và hệ phương trình trạng thái 161 Một số hệ thống phục vụ công cộng. 163 Hệ thống phục vụ công cộng từ chối cổ điển Hệ thống Eclang 163 Hệ thống chờ với độ dài hàng chờ hạn chế và thời gian chờ không hạn chế. 168 Hệ thống chờ thuần nhất 171Chương 6. MÔ HÌNH QUẢN LÝ DỰ TRỮ 176 Bài toán điều khiển dự trữ và các khái niệm 176 Một số mô hình dự trữ tất định 177 Mô hình dự trữ với việc tiêu thụ đều, bổ sung tức thời mô hình Wilson. 177 Một số mô hình mở rộng từ mô hình Wilson 182 Mô hình dự trữ tiêu thụ đều 186 Mô hình dự trữ trong trường hợp giá hàng thay đổi theo số lượng đặt mua mỗi lần 191 Mô hình dự trữ nhiều mức giá Bài toán dự trữ nhiều loại hàng và bài toán với các điều kiện ràng buộc 196 Một số mô hình dự trữ với yếu tố ngẫu nhiên. 198 Mô hình dự trữ một giai đoạn 298 Mô hình dự trữ có bảo hiểm 201 Tài liệu tham khảo PTITLỜI MỞ ĐẦU Trước xu thế toàn cầu hóa, hội nhập kinh tế quốc tế, buộc các doanh nghiệp trong đó có doanh nghiệp bưu chính viễn thông không thể thờ ơ trước cuộc chiến dành miếng bánh thị phần. Các doanh nghiệp phải tìm mọi biện pháp tối ưu hóa hiệu quả sản xuất kinh doanh để tồn tại và phát triển trong môi trường cạnh tranh ngày càng khốc liệt. Các doanh nghiệp cần có chiến lược kinh doanh đúng đắn vừa đảm bảo hiệu quả đầu tư, vừa đảm bảo yêu cầu về chất lượng của sản phẩm, dịch vụ mà mình cung cấp phù hợp với nhu cầu thị trường. Để giải quyết được vấn đề này đòi hỏi doanh nghiệp phải xem xét về mọi mặt của quá trình sản xuất kinh doanh trên quan điểm tối ưu hóa kể cả trong ngắn hạn và dài hạn. Trong thực tế vấn đề tối ưu hóa rất đa dạng và phức tạp, không có một phương pháp vạn năng hữu hiệu nào có thể giải quyết, tìm lời giải tối ưu cho mọi trường hợp mà ta phải sử dụng nhiều phương pháp, nhiều công cụ khác nhau để tiếp cận, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế cả ở tầm vĩ mô và vi mô, mỗi phương pháp, mỗi công cụ có những ưu nhược điểm riêng. Toán kinh tế là một phương pháp, một công cụ hữu hiệu, kết hợp được nhiều cách tiếp cận hiện đại, đặc biệt hữu ích khi có sự trợ giúp của phương tiện xử lý thông tin hiện đại. Trong khuôn khổ chương trình môn học “Toán kinh tế” dành cho chuyên ngành kinh tế và quản trị kinh doanh bậc cao đẳng và đại học, bài giảng toán kinh tế sẽ trang bị cho người học những kỹ năng cơ bản về phương pháp mô hình các vấn đề kinh tế đương đại, từ đó áp dụng các thuật toán thích hợp để tìm lời giải hoặc phân tích, dự báo. Để phục vụ tốt cho việc dạy và học, tác giả biên soạn bài giảng này trên cơ sở chọn lọc những tài liêu, giáo trình đã có trước đây, bổ sung cập nhật những kiến thức mới cho phù hợp với mục tiêu đào tạo. Để có thể tiếp thu được các nội dung của môn học này, người học cần được trang bị những kiến thức cơ bản về các học thuyết kinh tế, kinh tế học. Ngoài ra, với cách tiếp cận toán học, người học cần có những kiến thức tối thiểu về giải tích toán học, xác suất - thống kê và kinh tế lượng. Bài giảng này gồm 6 chương, đề cập đến những kiến thức cơ bản nhất và có hệ thống về tối ưu hóa với thời lượng 60 tiết. Bao gồm Chương 1 trình bày về mô hình toán kinh tế, phân tích tìm lời giải cho các mô hình kinh tế phổ biến. Chương 2 giới thiệu về quy hoạch tuyến tính, đây là lớp bài toán phổ biến trong thực tế sản xuất kinh doanh của doanh nghiệp, nó bao gồm bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu. Ngoài ra, trong chương 3, 4 trình bày một số dạng đặc biệt của PTITbài toán quy hoạch tuyến tính như bài toán vận tải, bài toán tối ưu trên mạng. Chương 5 giới thiệu về mô hình hệ thống phục vụ công cộng, một hệ thống phổ biến trong đời sống kinh tế - xã hội và an ninh quốc phòng. Chương 6 giới thiệu lớp bài toán quản lý dự trữ về các yếu tố đầu vào của mọi quá trình sản xuất. Việc xử lý và phân tích các mô hình giúp cho người học có thể tự giải quyết các vấn đề trong từng trường hợp, đồng thời tạo khả năng vận dụng một cách sáng tạo phương pháp giải quyết trong các tình huống tương tự ở bất kỳ lĩnh vực nào. Toàn bộ bài giảng cũng như trong các chương các kiến thức được kết cấu theo dạng modul do đó có thể sử dụng, lựa chọn phù hợp với đối tượng, thời lượng cụ thể. Để tạo hứng thú trong học tập, việc xây dựng và phân tích các mô hình đều bắt đầu từ nội dung kinh tế kèm theo các thí dụ minh họa. Các công cụ toán học được sử dụng ở mức vừa đủ hỗ trợ trong quá trình phân tích và tìm lời giải. Mặc dù tác giả đã bỏ nhiều công sức biên soạn bài giảng này, nhưng trong điều kiện hạn chế về tư liệu, thời gian và kiến thức, bên cạnh đó nội dung đề cập rất đa dạng nên bài giảng không tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất mong được sự đồng tình và những ý kiến đóng góp của độc giả. 1Hà Nội – 2013 Tác giả TS. Trần Ngọc Minh PTIT 2Bài giảng toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế CHƯƠNG 1 MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Đối tượng nghiên cứu của môn học. Khái quát về tối ưu hoá ● Khái niệm tối ưu dùng để chỉ mức độ khả dĩ đạt tới cao nhất của mục tiêu do một chủ thể đề ra và được xét trong những điều kiện nhất định. - Với mỗi sự vật, mục tiêu là một khái niệm mang tính chủ quan, tùy thuộc vào mục đích riêng của chủ thể. Thí dụ, khi nghiên cứu mạng viễn thông, người sử dụng lấy chất lượng dịch vụ làm mục tiêu. Trái lại, người quản lý khái thác mạng lấy hiệu suất sử dụng tài nguyên làm mục tiêu. - Điều kiện cụ thể gồm toàn bộ những yếu tố tác động trực tiếp đến mục tiêu của chủ thể. Thí dụ khi lập kế hoạch sản xuất tối ưu, các điều kiện ảnh hưởng trực tiếp đến mục tiêu là tình trạng máy móc thiết bị, khả năng cung cấp các yếu tố đầu vào, khả năng tiêu thụ hàng hóa trên thị trường,vv Tối ưu hóa là quá trình đi đến cái "tốt nhất", là sự vận động từ chưa tốt đến tốt hơn, từ tốt hơn đến tốt nhất. Phương pháp tối ưu hóa là các biện pháp, các thuật toán, các kỹ xảo, các thao nhằm đi đến điểm tối ưu. Phương pháp tối ưu hóa là công cụ của tối ưu hóa. Do tính đa dạng và phức tạp của các vấn đề tối ưu hóa trong thực tế, không tồn tại một phương pháp vạn năng hữu hiệu để giải quyết vấn đề để tìm lời giải tối ưu trong mọi trường hợp. ● Tối ưu hóa là quy luật khách quan của giới tự nhiên và xã hội, gắn liền với quá trình tiến hóa. Qui luật chọn lọc tự nhiên chỉ ra rằng, chỉ có những sinh vật nào thích nghi tốt nhất với điều kiện môi trường thì mới có khả năng tồn tại và phát tiển. Cái cây luôn luôn phải vươn lên để nhận được ánh sáng mặt trời nhiều nhất. Con cá có hình dáng thích hợp để bơi thuận tiện nhất. Nhà kinh doanh luôn luôn phải làm cho lợi nhuận của danh nghiệp lớn nhất. Nhà chính trị luôn luôn tìm cách điều hành xã hội phát triển nhanh nhất và ổn định nhất. ● Đối với các quá trình phức tạp, mục tiêu cuối cùng của tối ưu hóa thường không rõ ràng ngay từ đầu. Thứ nhất, khái niệm "tốt nhất" phụ thuộc vào nhận thức chủ quan của con người. Thứ hai, sự vật luôn luôn biến đổi không ngừng theo thời gian khiến cho các điều kiện luôn luôn thay đổi. Một đối tượng đang là "tốt nhất", khi điều kiện thay đổi có thể trở trhành "xấu nhất". Vì vậy, đối với quá trình phức tạp, mục tiPTITêu tối ưu hóa thường được hiệu chỉnh theo thời gian để có ý nghĩa thiết thực. Điều này có thể được nhận thấy rất rõ trong lý thuyết kinh tế học, trong điều khiển tự thích nghi, ● Tối ưu hóa có tính phân thân, nghĩa là nó tác động vào chính nó. Nói cách khác, các quá trình tối ưu hóa và các phương pháp tối ưu hóa cũng phải có tính tối ưu khi đặt nó vào các điều kiện và hoàn cảnh cụ thể của vấn đề mà chủ thể đặt ra để giải quyết. ● Các phương pháp tối ưu thường được nghiên cứu dưới dạng mô hình toán học, đó là các phương trình, bất phương trình, phương trình vi phân, tích phân, Nội dung nghiên cứu của môn học. Khi nghiên cứu các bài toán tối ưu người ta có thể chia ra làm ba hướng ● Các vấn đề công nghệ hay thực tiễn Xây dựng các mô hình toán học, thu thập dữ liệu, giải thích và phân tích kết quả tính toán, ● Các vấn đề toán học Nghiên cứu các phương pháp toán học để giải các lớp bài toán tối ưu nhất định. 3Bài giảng toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế ● Các vấn đề tính toán Nghiên cứu sơ đồ tính toán cho các phương pháp toán học đã đề xuất và hoàn thiện các chương trình phần mềm tương ứng, Dĩ nhiên ba hướng này không hoàn toàn tách biệt nhau. Chẳng hạn, các mô hình toán học cho các vấn đề thực tiễn cần được xây dựng sao cho phù hợp nhất với các phương pháp tính toán hiện có. Việc nghiên cứu các sơ đồ tính toán theo các phương pháp toán học đã có và thực tiễn tính toán thường giúp hòan thiện bản thân phương pháp toán học. Trong khuôn khổ môn học này ta sẽ tập trung chủ yếu vào các khía cạnh toán học và tính toán của một số mô hình tối ưu sau đây - Mô hình Micro và Macro Xây dựng mô hình toán đối với các mối quan hệ kinh tế đã được kinh tế học chứng minh, áp dụng phương pháp thích hợp khi phân tích các mô hình. - Quy hoạch tuyến tính Bao gồm bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc và chính tắc, các tính chất cơ bản, thuật toán đơn hình giải bài toán, lý thuyết đối ngẫu, bài toán vận tải, bài toán tối ưu trên mạng. - Mô hình hệ thống phục vụ công cộng - Mô hình quản lý dự tữ tối ưu. Phương pháp mô hình trong nghiên cứu và phân tích kinh tế Ý nghĩa và khái niệm về mô hình toán kinh tế. Loài người từ lâu đã biết cách tìm hiểu, khám phá những hiện tượng tự nhiên, họ biết quan sát, theo dõi và ghi nhận các hiện tượng này. Kết quả theo dõi được đúc kết thành kinh nghiệm và lưu truyền qua các thế hệ. Đó là phương pháp trực tiếp quan sát trong nghiên cứu. Đối với sự vật, hiện tượng phức tạp hơn hoặc khi chúng ta chẳng những muốn tìm hiểu các hiện tượng mà còn muốn lợi dụng chúng phục vụ cho hoạt động của mình thì phương pháp quan sát chưa đủ. Trong trường hợp này, khi nghiên cứu các đối tượng, các nhà khoa học hoặc là trực tiếp tác động vào đối tượng, hoặc sử dụng các mô hình tương tự về mặt cấu trúc vật lý như đối tượng, tiến hành thí nghiệm, trực tiếp tác động vào đối tượng cần nghiên cứu, phân tích kết quả để xác lập quy luật chi phối sự vận động của đối tượng. Đó là phương pháp thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát và là phương pháp nghiên cứu phổ biến trong khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Khi nghiên cứu các hiện tượng, vấn đề kinh tế - xã hội, các phương pháp trên thường không đem lại kết quả như mong muốn, vì - Những vấn đề kinh tế vốn dĩ là những vấn đề hết sức phức tạp, đặc biệt là những vấn đề kinh tế đương đại, trong đó có nhiều mối liên hệ đan xen, thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta không thể chỉ bằng quan sát là có thể giải thíchPTIT được. - Quy mô, phạm vi liên quan của những vấn đề kinh tế xã hội nhiều khi rất rộng và đa dạng, vì vậy khi dùng phương pháp thử nghiệm đòi hỏi chi phí rất lớn về thời gian và tiền bạc và nhiều khi những sai sót trong quá trình thử nghiệm sẽ gây ra hậu quả không thể lường trước được. - Ngay cả trong trường hợp có đủ điều kiện tiến hành các thử nghiệm trong nghiên cứu kinh tế thì kết quả thu được cũng kém tin cậy vì các hiện tượng kinh tế - xã hội đều gắn với hoạt động của con người. Khi điều kiện thực tế khác biệt với điều kiện thử nghiệm, con người có phản ứng khác hẳn nhau. Để nghiên cứu các hiện tượng, các vấn đề kinh tế chúng ta phải sử dụng phương pháp suy luận gián tiếp, trong đó các đối tượng trong hiện thực có liên quan đến hiện tượng, vấn đề chúng ta quan tâm nghiên cứu sẽ được thay thế bởi ”hình ảnh” của chúng các mô hình của đối tượng và ta sử dụng mô hình làm công cụ phân tích và suy luận. Phương pháp này có tên gọi là phương pháp mô hình. Nội dung chính của phương pháp mô hình là Xây dựng, xác định mô hình của đối tượng. Quá trình này gọi là mô hình hoá đối tượng. 4Bài giảng toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế - Dùng mô hình làm công cụ suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu. Quá trình này gọi là phân tích mô hình. Phương pháp mô hình khắc phục được hạn chế của các phương pháp trên, đồng thời với việc phân tích mô hình, phương pháp tạo khả năng phát huy tốt hiệu quả của tư duy logic, kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp phân tích truyền thống với hiện đại, giữa phân tích định tính với phân tích định lượng. Để có thể sử dụng có hiệu quả phương pháp mô hình hoá trong nghiên cứu kinh tế vấn đề cốt lõi là xác lập được mô hình của đối tượng nghiên cứu. Để hiểu rõ vấn đề này chúng ta cần đề cập đến một số khái niệm cơ bản có liên quan. Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế ● Mô hình kinh tế Có nhiều quan niệm về mô hình của đối tượng, từ hình thức đơn giản, trực quan đến hình thức khái quát, có sử dụng các khái niệm toán học trừu tượng. Với yêu cầu bước đầu làm quen với phương pháp mô hình, chung ta sẽ đề cập tới quan điểm khá đơn giản về mô hình. Theo quan điểm này thì mô hình của một đối tượng là sự phản ánh hiện thực khách quan của đối tượng; sự hình dung, tưởng tượng đối tượng đó bằng ý nghĩ của người nghiên cứu và việc trình bày, thể hiện, diễn đạt ý nghĩ đó bằng lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ, hoặc một ngôn ngữ chuyên ngành. Như vậy mỗi mô hình bao gồm nội dung của mô hình và hình thức thể hiện nội dung. Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi là mô hình kinh tế. ● Mô hình toán kinh tế. Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học. Việc sử dụng ngôn ngữ toán học tạo khả năng áp dụng các phương pháp suy luận, phân tích toán học và kế thừa các thành tựu trong lĩnh vực này cũng như trong các lĩnh vực khoa học có liên quan. Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta cần nghiên cứu, phân tích chẳng những về mặt định tính mà cả về mặt định lượng thì phương pháp suy nghĩ thông thường, phân tích giản đơn không đủ hiệu lực để giải quyết. Chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học. Đây chính là điểm mạnh của các mô hình toán kinh tế. Chúng ta có thể minh hoạ bằng thí dụ sau Thí dụ Giả sử chúng ta muốn nghiên cứu, phân tích quá trình hình thành giá cả của loại hàng A trên thị trường với giả định là các yếu tố khác như điều kiện sản xuất hàng hoá A, thu nhập, sở thích, thị hiếu của người tiêu dùng, đã cho trước và không đổi. Đối tượng liên quan đến vấn PTITđề nghiên cứu là thị trường hàng hoá A và sự vận hành của nó trên thị trường. Chúng ta cần mô hình hoá đối tượng này. a. Mô hình bằng lời Xét thị trường hàng hoá A, nơi đó người bán, người mua gặp nhau và xuất hiện mức giá ban đầu. Với mức giá đó lượng hàng hoá người bán muốn bán gọi là mức cung và lượng hàng hoá người mua muốn mua gọi là mức cầu. Nếu cung lớn hơn cầu, do người bán muốn bán được nhiều hàng hơn nên phải giảm giá vì vậy hình thành mức giá mới thấp hơn. Nếu cầu lớn hơn cung thì người mua sẵn sang trả giá cao hơn để mua được hàng do vậy một mức giá cao hơn được hình thành. Với mức giá mới, xuất hiện mức cung, cầu mới. Quá trình tiếp diễn đến khi cung bằng cầu ở một mức giá gọi là giá cân bằng. b. Mô hình bằng hình vẽ Mô hình mạng nhện Từ mô hình bằng lời trên ta sẽ thể hiện bằng hình vẽ Vẽ đường cung S và đường cầu D trên cùng hệ trục toạ độ trong đó trục hoành biểu thị các mức giá, trục tung biểu thị mức cung, mức cầu hàng hoá A ứng với các mức giá. Quá trình hình thành giá cân bằng được thể hiện qua sơ đồ minh hoạ dưới đây 5Bài giảng toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế D, S D S p P p P2 P4 P3 1 Hình Giải thích sơ đồ Nếu ở thời điểm bắt đầu xem xét thị trường, giá hàng là p1 và giả sử S1 = Sp1 > D1 = Dp1 khi đó dưới tác động của quy luật cung – cầu, giá p1 sẽ phải hạ xuống mức p2. Ở mức giá p2 do S2 = Sp2 D3 = Dp3 nên giá sẽ giảm xuống mức p4 . Quá trình cứ tiếp diễn cho đến khi p = p , tại mức giá này cung cầu cân bằng. c. Mô hình toán kinh tế Mô hình cân bằng một thị trường. Gọi S, D là đường cung, đường cầu tương ứng. Như vậy ứng với từng mức giá p ta có S = Sp, do người bán sẵn sàng bán với mức giá cao hơn nên S là hàm tăng theo p, tức là S’p > 0. D = Dp, do người mua sẽ mua ít hơn nếu giá cao hơn nên D là hàm giảm theo p, tức là D’p 0. D = Dp; D’p = dD/dp 0 p D D = Dp, pj, M, T; 0 p ’ D D = Dp, pj, M, T; D = 0 nên dấu của AC’Q phụ thuộc dấu của MC – AC. Từ đây suy ra - Nếu MC > AC thì AC’Q > 0, tức là khi chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân tăng. - Nếu MC AR thì AR’Q > 0, tức lân khi doanh thu cận biên lớn hơn doanh thu bình quân thì doanh thu bình quân tăng. 12Bài giảng toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế - Nếu MR 0 thì Xi và Y thay đổi cùng hướng, ngược lại, ε X Xi Xi 0. Ta có Q Q Q εK = α, εL = β và ε = α + β. εY Nếu Y, Xi > 0, thì hệ số co dãn Xi có thể tính theo công thức LnY εY Xi LnXi Trong đó LnY, LnXi là lôgarit cơ số e của Y và Xi. F Y Nếu gọi là hàm cận biên – ký hiệu là MFi và gọi là hàm trung bình – ký hiệu AFi của Y Xi Xi theo Xi thì ta có MF εY i Xi AFi Thí dụ Nếu hàm cầu là 1400 – p2 thì hệ số co dãn tại điểm p là p 1400-p2 'p -2p2 εQ = D' p = = p Dp 1400-p2 1400-p2 Nếu p = 20 ta có ε = -0,8. ĐiềuPTIT này có nghĩa là, tại mức giá p = 20, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm khoảng 0,8%. b Tính hệ số tăng trưởng nhịp tăng trưởng Trong trường hợp mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian, thì sự biến động của biến nội sinh theo thời gian được đo bằng hệ số tăng trưởng. Hệ số tăng trưởng của một biến đo tỷ lệ biến động của biến đó theo thời gian. Giả sử Y = FX1, X2, ., Xn, t với t là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng của Y – ký hiệu là rY – được định nghĩa bằng công thức Y r t Y Y Thông thường rY được tính theo tỷ lệ %. 15Bài giảng toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế Thí dụ Với công thức tính lãi kép liên tục, ta có lượng tiền thu được tại thời điểm t là Vt, tính rt theo công thức Vt = V0e ; trong đó V0 là vốn gốc, r là lãi suất, t là thời gian. Hệ số tăng trưởng của Vt là Vt t rY = r Vt Nếu thời gian t không quá dài, hoặc lãi suất r tính theo từng chu kỳ thì công thức trên có dạng t Vt = V01 + r Do đó hệ số tăng trưởng của V là Ln1 + r = r Đầu tư một khoản tiền 100 triệu đồng với lãi suất 10%/năm. Sau 8 năm thu được cả vốn lẫn lãi là 214,358881 triệu đồng tính theo lãi kép. Hỏi lãi suất đầu tư tỷ lệ sinh lời của đầu tư là bao nhiêu? Giải Áp dụng công thức Vn r = n -1 = 8 - 1 = 10% V0 Tổng quát, nếu biến nội sinh phụ thuộc thời gian một cách gián tiếp thông qua sự phụ thuộc vào thời gian của các biến khác, tức là hàm số có dạng Y = FX1t, X2t, ., Xnt thì hệ số tăng trưởng của Y có thể tính dựa vào hệ số tăng trưởng của các biến Xi theo công thức n r εY r Y  Xi Xi i=1 Trong đó εY là hệ số co giãn của Y theo X và r là hệ số tăng trưởng của X . Xi i Xi i c Hệ số thay thế bổ sung, chuyển đổi. 0 0 0 Giả sử Y = FX1, X2, ., Xn, tại X = X giá trị tương ứng của Y là Y = FX = Y . Vấn đề đặt ra là nếu ta cho hai biến ngoại sinh thay đổi và cố định các biến còn lại sao cho Y không đổi, tức Y = Y0, thì sự thay đổi của hai biến này phải theo tỷ lệ nào? Tuỳ thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của hai biến, tỷ lệ này có thể gọi là tỷ lệ thay thế thay thế giữa vốn và lao động, tỷ lệ bổ sung bổ sung giữa hai mặt hàng, tỷ lệ chuyển đổi chuyển đổi giữa tiêu dùng hiện tại và tiêu dùng tương lai. Ta có thể tính hệ số này như sau Theo công thức vi phân toànPTIT phần, ta có F F F dY = dX1 + dX2 + + dXn X1 X2 Xn Giả sử cho hai biến Xi và Xj thay đổi, do Y và Xk k ≠ i, j không đổi, nên F F F dX X 0 = dX + dX i = j i j F Xi Xj dXj Xi 0 Nếu dXi/dXj 0 thì ta nói rằng Xi, Xj bổ sung cho nhau tại X = X với tỷ lệ , tỷ lệ này cho dX j ta biết khi tăng giảm mức sử dụng Xj một đơn vị thì phải tăng giảm mức sử dụng Xi bao nhiêu đơn vị để giữ nguyên mức của Y và được gọi là hệ số bổ sung cận biên của Xi cho Xj. 0 Nếu dXi/dXj = 0 thì ta nói rằng Xi, Xj không thể thay thế hoặc bổ sung cho nhau tại X = X . Áp dụng phân tích đối với một số mô hình kinh tế phổ biến Mô hình tối ưu Các mô hình tối ưu thường được sử dụng trong phân tích kinh tế, ở đây chúng ta sẽ đề cập đến các mô hình tối ưu khi nghiên cứu hoạt động chi tiết của cơ chế thị trường kinh tế vi mô, vĩ mô. Thông qua các mô hình tối ưu ta có thể phân tích cách ứng xử, hành vi của các tác nhân kinh tế khi họ theo đuổi mục tiêu của mình. Trong phạm vi chương này ta làm quen với một số mô hình về hành vi sản xuất và tiêu dùng. a Mô hình hành vi sản xuất. Sản xuất được hiểu là quá trình biến đổi các yếu tố đầu vào thành đầu ra sản phẩm, dịch vụ bằng một công nghệ hay quy trình nào đó. Tác nhân thực hiện quá trình sản xuất gọi là doanh nghiệp. Trong kinh tế thị trường, doanh nghiệp tham gia hoạt động sản xuất, kinh doanh vì mục tiêu lợi nhuận, hơn nữa là lợi nhuận cực đại đặc biệt khi ta xét trong dài hạn. Để đạt mục tiêu này, doanh nghiệp phải lựa chọn các yếu tố đầu vào cùng mức độ sử dụng, mức sản lượng cung ứng ra thị trường và giá bán sản phẩm căn cứ vào thực lực của doanh nghiệp trình độ công nghệ, trình độ quản lý, khả năng nguồn tự có, và các điều kiện liên quan tới thị trường đầu vào và thị trường đầu ra. Toàn bộ quá trình lựa chọn này là hành vi của doanh nghiệp. Như vậy, hành vi của doanh nghiệp có liên quan tới Thực trạng về công nghệ hiện có của doanh nghiệp bao gồm cả trình độ quản lý, điều hành. Các điều kiện trên thị trường yếu tố sản xuất, trong đó doanh nghiệp với tư cách là người mua. Các điều kiện trên thị trường sản phẩm, dịch vụ, trong đó doanh nghiệp với tư cách là người bán. Để phân tích hành vi của doanh nghiệp ta đưa ra một số mô hình sau ● Mô hình hàm sản xuất Để mô tả trình độ công nghệ của doanh nghiệp ta sử dụng mô hình hàm sản xuất. Đây là mô hình đơn giản vì chỉ có một biến nội sinh và một phương trình. - Mô hình hoá công nghệ GiảPTIT sử với trình độ công nghệ hiện có doanh nghiệp có thể sử dụng n loại yếu tố để tạo ra sản phẩm hoặc dịch vụ và nếu các yếu tố được sử dụng ở mức X1, X2, ., Xn, doanh nghiệp tạo ra được Q đơn vị đầu ra hiện vật hoặc giá trị. Như vậy có một mối quan hệ giữa mức sử dụng các yếu tố và mức sản lượng và quan hệ này đặc trưng cho tình trạng công nghệ của doanh nghiệp. Ta thể hiện quan hệ này bằng hàm số Q = FX1, X1 , Xn hoặc viết gọn hơn Q = FX với X = X1, X1 , Xn và gọi là hàm sản xuất của doanh nghiệp. Mô hình này có biến nội sinh là mức sản lượng Q, các biến ngoại sinh là mức sử dụng các yếu tố đầu vào X1, X1 , Xn và có thể chứa các tham số. Như vậy, hàm sản xuất mô tả quan hệ giữa kết quả sản xuất đầu ra có hiệu quả nhất về mặt kỹ thuật phụ thuộc vào các yếu tố sản xuất đầu vào. Chúng ta có thể sử dụng mô hình hàm sản xuất gộp để mô tả tình trạng công nghệ của một ngành, một vùng, thậm chí nền sản xuất của một quốc gia. Với hàm sản xuất gộp, các yếu tố thường được 17Bài giảng toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế nhóm gộp thành các yếu tố chính là vốn, lao động, tài nguyên, ngoài ra có thể đề cập tới tiến bộ kỹ thuật. Các hàm sản xuất phổ biến Dạng tuyến tính Q = a1X1 + a2X2 + + anXn Đặc điểm quan trọng nhất của hàm dạng tuyến tính là hệ số thay thế giữa các biến không đổi. Hệ số thay thế của Xi chi Xj là ci, j = - aj/ai. Hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với vốn và lao động Q = aKαLβ với a, α, β > 0 là các tham số. Trong đó Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động. Đường mức của hàm sản xuất có phương trình fK, L = Q0 Q0 = const > 0 Trong kinh tế học thuật ngữ “đường mức” của hàm sản xuât có tên gọi là đường đồng lượng hay đường đẳng lượng. Đường đồng lượng là tập hợp các tổ hợp yếu tố sản xuất Vốn, lao động cho cùng một mức sản lượng Q0 cố định. - Phân tích mô hình; tác động của yếu tố sản xuất tới sản lượng. Với công cụ là hàm sản xuất và một số hàm kinh tế dẫn xuất từ hàm này ta có thể phân tích chi tiết hơn tình trạng công nghệ của doanh nghiệp trong việc sử dụng có hiệu quả các yếu tố. +/ Về mặt ngắn hạn, với công nghệ hiện có, doanh nghiệp chỉ có khả năng thay đổi một số yếu tố có tính lưu động. Ta có thể đo lường hiệu quả của việc sử dụng các yếu tố đó bằng các thước đo sau Năng suất biên của yếu tố i sản phẩm hiện vật cận biên F MPi = Xi MPi cho biết khi doanh nghiệp cố định mức sử dụng các yếu tố khác và tăng giảm mức sử dụng yếu tố i thì mức sản lượng sẽ tăng giảm bao nhiêu đơn vị. Với ý nghĩa như trên, MPi thường được giả thiết là dương. FX - Năng suất trung bình của yếu tố i APi = Xi MP - Độ co giãn của Q theo yếu tố i εQ = i PTITXi APi dX MP - Hệ số thay thế giữa yếi tố i và yếu tố j i = j dX j MPi Trong tình huống doanh nghiệp chỉ có khả năng thay đổi được yếu tố i còn các yếu tố khác không thay đổi được cố định thì việc sử dụng yếu tố i có lợi nhất sẽ là ở mức mà năng suất trung bình của yếu tố i đạt cực đại. Tình huống này được gọi là tình huống tối ưu về mặt kỹ thuật. Xem xét tình huống này chúng ta có mô hình FX Max Xi Có thể chứng minh điều kiện cần với nhiều dạng hàm cũng là điều kiện đủ đối với nghiệm * * Xi Xi phải là nghiệm của phương trình 18Bài giảng toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế FX F Xi Xi Do vế trái của phương trình là APi, còn vế phải là MPi nên khi doanh nghiệp sử dụng yếu tố i ở mức mà năng suất biên của yếu tố bằng năng suất trung bình thì sẽ đạt tối ưu về mặt kỹ thuật. +/ Về mặt dài hạn, doanh nghiệp có khả năng thay đổi tất cả các yếu tố và tình huống được quan tâm là khi tất cả các yếu tố đều thay đổi theo cùng một tỷ lệ tuyệt đối, tương đối thì tác động này ảnh hưởng như thế nào tới sản lượng. Khi này chúng ta đề cập tới vấn đề tăng quy mô và hiệu quả Return to Scale. Cho hàm sản xuất Q = FX1, X2, ., Xn với λX = λX1, λX2, , λXn, ta nói quy mô sản xuất thay đổi với hệ số λ λ > 1. Nếu FλX > thì công nghệ sản xuất ứng với hàm sản xuất gọi là tăng quy mô có hiệu quả hiệu quả tăng theo quy mô. FλX 0, = L* = 100 > 0 nên khi giá vốn, giá lao động tăng thì chi pK pL phí sẽ tăng. Mô hình tối đa hoá lợi nhuận của doanh nghiệp Mô hình xác định mức cung ● Đặt vấn đề Mục tiêu của doanh nghiệp là lợi nhuận tối đa. Để đạt mục tiêu này, Doanh nghiệp phải xử lý mối quan hệ giữa doanh nghiệp – thị trường yếu tố đầu vào và doanh nghiệp – thị trường sản phẩm, dịch vụ đầu ra. Doanh nghiệp phải biết kết hợp giữa tối ưu về mặt kỹ thuật, tối ưu về mặt kinh tế với các điều kiện trong thị trường đầu ra. Các điều kiện này bao gồm Vị thế của doanh nghiệp trên thị trường thị phần của doanh nghiệp. Sự hình thành giá bán sản phẩm, dịch vụ của doanh nghiệp. Doanh nghiệp sẽ tính toán mứcPTIT cung sản phẩm, dịch vụ cho thị trường và giá bán như thế nào để tối đa hoá lợi nhuận? Tuỳ thuộc vào vị thế của doanh nghiệp trên thị trường đầu ra và sẽ có cách tính khác nhau. Ta sẽ xét hai loại hình doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo và độc quyền. ● Mô hình hoá Ký hiệu TRQ là doanh thu khi doanh nghiệp cung ứng và tiêu thụ trên thị trường mức sản lượng Q. Ta có các định nghĩa doanh thu biên MR và doanh thu trung bình AR sau đây dTR MRQ = dQ TR ARQ = Q Gọi TCQ là chi phí tương ứng với Q có tính tối ưu về mặt kinh tế, lợi nhuận sẽ là ΠQ = TRQ – TCQ Để xác định mức sản lượng làm tối đa hoá lợi nhuận mức cung của doanh nghiệp ta có mô hình 22Bài giảng toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế ΠQ Max Mô hình có biến nội sinh là Q, Π; biến ngoại sinh là các biến ngoại sinh khác Q có mặt trong các hàm TR và TC. ● Phân tích mô hình +/ Giải mô hình Vì ΠQ = TRQ – TCQ. Bài toán đặt ra là Chọn mức sản lượng Q0 để thu lợi nhuận tối đa. Điều kiện cần để Π đạt cực đại tại điểm Q0 là ’ ’ ’ ’ ’ Π = TR Q0 – TC Q0 = 0 ↔ TR Q0 = TC Q0 ↔ MR = MC dTR TC Điều kiện cần của tối ưu là = dQ dQ Như vậy, điều kiện cần để mức sản lượng làm tối đa hoá lợi nhuận là tại mức này doanh thu biên phải bằng chi phí biên. Điều kiện đủ của tối ưu là nếu sản lượng tiếp tục tăng thì doanh thu biên phải nhỏ hơn chi phí biên lợi ích cận biên giảm dần. Hay đạo hàm cấp hai của hàm lợi nhuận phải âm Π’’ = TR’’ – TC’’ 0. dp 6Q* - 2 dp dπ* Mặt khác ta có = Q* > 0. Vậy khi giá p tăng thì mức cung và lợi nhuận của doanh nghiệp dp đều tăng. Thí dụ Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược p = 490 – 2Q và hàm tổng chi phí TC = 0,5Q2AD0,5 trong đó Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cáo. - Với AD = 9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu? - Phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức sản lượng và giá bán tối ưu? Giải - Ta có MC = vPTITới AD = 9, theo suy ra 490 – 2Q + -2Q = = 3Q iii Giải phương trình trên và kiểm tra điều kiện đủ của tối ưu ta được Q* = 70, thay vào hàm cầu ta có p* = 350. dQ* - Để phân tích tác động của AD tới Q* ta cần tính . dAD Áp dụng cách tính đạo hàm của hàm ẩn đối với iii, kết quả là dQ* -0,5Q*AD-0,5 dQ* = . Do AD > 0, Q* > 0 nên 0 Các hàm cầu Marshall được dẫn xuất từ hệ phương trình U' U' x = y px py 2y0,9 0,9x0,4 Với U' = 0,4x 0,6 y0,9 = ; U' = 0,9x0,4 y 0,1 x 5x0,6 y 10y0,1 ' U' 0,9 0,4 Ux y 2y 9x Ta có = 0,6 = 0,1 px py 5px x 10py y 9p Từ đó suy ra y = x x . Thay y theo x vào phương trình thứ hai, ta có 4py 9px 4M 9M px x + py x = M x = ; y = 4py 13px 13py 4M Hàm cầu đối với hàng hóa thứ nhất là x* = 13px 9M Hàm cầu đối với hàng hóa thứ hai là y* = 13py Tổng cộng mức cầu hàng hoá của các hộ gia đình ta được mức cầu hàm cầu của thị trường, ký hiệu là D, D = Dp1, p2, , pm, M với M khi này là tổng ngân sách tiêu dùng của tất cả các hộ gia đình. 0,25 0,5 Thí dụ Hàm thoả dụng của hộ gia đình khi tiêu dùng hàng hoá A có dạng U = 40 XA XB trong đó XA, XB là mức tiêu dùng hàng A, B. Giá hàng được cho như sau pA = 4, pB = 10. - Có ý kiến cho rằng hàng hoá A luôn có thể thay thế hàng hoá B và tỷ lệ thay thế là 11. Hãy nhận xét ý kiến này? - Xác định mức cầu hàng hoá A, B của hộ gia đình nếu thu nhập M = 600. Giải PTIT Tính hệ số thay thế giữa hai hàng hoá MUA/MUB. Ta có -0,75 0,5 0,25 -0,5 MUA = 10XA XB và 20XA XB Như vậy, MUA/MUB = XB /2XA > 0 do đó hai hàng hoá này luôn thay thế được cho nhau. Cũng theo kết quả này, để thay thế một đơn vị hàng A cần XB/2XA đơn vị hàng B, tỷ số XB/2XA không nhất thiết bằng 1, do đó ý kiến cho rằng tỷ lệ thay thế là 11 là không chính xác. - Ta có hệ phương trình xác định mức tiêu dùng tối ưu MUA/MUB = pA/pB 0,25 0,5 600 = 40 XA XB Từ câu trên ta đã biết MUA/MUB = XB/2XA nên hệ phương trình trở thành XB/2XA = 2/5 0,25 0,5 600 = 40 XA XB 31Bài giảng toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế * * Giải hệ trên ta được XA = 50; XB = 40 hình cân bằng thị trường a Mô hình cân bằng một thị trường – Mô hình cân bằng riêng - Đặt vấn đề Những vấn đề liên quan tới hoạt động của thị trường hàng hoá thu hút sự quan tâm chẳng những của doanh nghiệp, người tiêu dùng mà còn của nhà nước. Điều này càng trở nên quan trọng khi hoạt động của thị trường cần “ bàn tay hữu hình” điều tiết. Vấn đề thường đặt ra là trong quá trình hoạt động của thị trường, giá và lượng hàng hoá lưu thông được xác định như thế nào, những yếu tố nào có thể ảnh hưởng tới quá trình này và tác động của chúng ở mức độ nào. Giải đáp được vấn đề này, đối với doanh nghiệp và người tiêu dùng có sự điều chỉnh thích hợp trong hành vi khi theo đuổi mục tiêu của mình; đối với nhà nước sẽ có căn cứ và cách thức điều tiết thị trường theo định hướng mong muốn. Ta có thể mô hình hoá thị trường cùng sự hoạt động của nó bằng mô hình sau - Mô hình hoá Mô tả cung – cầu mô hình hàm cung, hàm cầu của thị trường Thị trường bao gồm các tác nhân tham gia vào lực lượng cung, lực lượng cầu hình thành cung, cầu liên hệ với nhau bởi giá cả trong quá trình trao đổi mua bán. Trong các mô hình phân tích hành vi sản xuất, tiêu dùng ta đã mô tả sự hình thành cung, cầu của các tác nhân và của toàn bộ lực lượng cung, cầu. Ta có thể sử dụng hàm cung, cầu tổng hợp để mô tả lực lượng cung, cầu trên thị trường. Hàm cung của thị trường Giả sử hàm cung S = Sp, a, b, trong đó p là giá hàng , a, b, .là các biến ngoại sinh. Hàm cầu của thị trường Nhu cầu của người tiêu dùng về một mặt hàng phụ thuộc giá cả và thu nhập là mô hình sử dụng phổ biến. Hàm cầu của thị trường về một mặt hàng D = Dp, pi, M, α, β, Trong đó M là thu nhập, p là giá hàng hoá đang xét, pi là giá các hàng hoá khác có liên quan, α, β, là các biến ngoại sinh khác. Theo quy luật cung – cầu, giả thiết thường được nêu ra là S D > 0, 0 thì hàng hoá đang xét gọi là hàng hoá bình thường hàng thông thường, hàng cấp cao, nếu dD/dM 0 D = α – βp; α, β > 0 Có thể giải thích ý nghĩa của các hệ số a, b, α, β như sau Cho S = 0 không có cung trên thị trường, suy ra p = a/b. Như vậy có thể coi a/b là mức giá giới hạn tối thiểu mà người sản xuất chấp nhận. Cho D = 0 không có cầu, suy ra p = α/β, có thể coi α/β là mức giá giới hạn tối đa người tiêu dùng chấp nhận. Điều kiện cân bằng thị trường S = D tức là –a + bp = α – βp, giải phương trình này ta được mức giá cân bằng α + a αb - βa p = và lượng cân bằng Q = . β + b β + b p 1 Phân tích tác động của a tới p , ta có = > 0 do giả thiết b, β > 0. Chú ý rằng ta có thể a β + b p tính từ phương trình cân bằng và sẽ được kết quả tương tự. a Thí dụ Mức cầu loại hàng D phụ thuộc vào giá của hàng hoá đó p và thu nhập người tiêu dùng M có dạng sau; D = 1,5M0,3p-0,2 Mức cung loại hàng trên S có dạng S = 1,4p0,3. Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu nhập? Xem xét tác động của thu nhập tới mức giá cân bằng? Giải D D Hàm cầu có dạng Cobb – Douglas nên ta có εp = - 0,2, εM = 0,3 . Ta có phương trình cân bằng S = D, tức là 1,4p0,3 = 1,5M0,3p-0,2. Để phân tích tác động của thu p nhập tới giá cân bằng ta cần tính . Ta có thể tính biểu thức này từ phương trình cân bằng với M việc áp dụng tính đạo hàm hàm ẩn. Ta có 1,4p0,3 - 1,5M0,3p-0,2 = 0 p 1,5×0,3M-0,7p-0,2 Vì vậy = và tính được tại mức giá cân bằng. Do M, p > 0 -0,7 PTIT0,3 -1,2 M 1,4×0,3p +1,5×0,2M p p nên > 0, tức là khi thu nhập tăng giảm sẽ làm giá cân bằng tăng giảm. M Chú ý nếu các hàm cung, cầu trong mô hình cân bằng thị trường được cho bằng các hàm ngược, thì mô hình sẽ có dạng pS = pS, a, b, . pD = pD, α, β, pS = pD Cách thức phân tích mô hình hoàn toàn tương tự như trên. ● Mô hình cân bằng vĩ mô – Mô hình cân bằng thị trường hàng hoá – dịch vụ - Đặt vấn đề Phân tích kinh tế vĩ mô là phân tích mối liên hệ giữa các biến số kinh tế tổng hợp biến gộp đặc trưng cho hoạt động của toàn bộ nền kinh tế. Trong nền kinh tế thị trường, hoạt động của nền kinh tế diễn biến trong ba thị trường gộp thị trường hàng hoá – dịch vụ, thị trường 35Bài giảng toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế tiền tệ và thị trường lao động. Cả ba thị trường này đều có liên hệ với nhau. Trong mỗi thị trường đều xuất hiện mức tổng cung, mức tổng cầu loại hàng hoá tương ứng. Đối với nền kinh tế mở, tham gia vào mức tổng cung, tổng cầu còn có các chủ thể bên ngoài quốc gia. Nghiên cứu và phân tích các nhân tố tác động đến tổng cung, tổng cầu do đó đến tình huống cân bằng của cả ba thị trường là việc quan trọng trong phân tích và hoạch định chính sách kinh tế của Chính phủ. Trong khuôn khổ môn học, chúng ta chỉ đề cập tới tình huống ngắn hạn do vậy công nghệ sản xuất và thị hiếu tiêu dùng có thể giả thiết là không đổi và đồng thời chỉ xét thị trường hàng hoá – dịch vụ với các phương trình dạng tuyến tính. - Mô hình hoá Các chỉ tiêu kinh tế vĩ mô sử dụng trong mô hình là các chỉ tiêu thực tính theo giá cố định. Mô tả cung Vì ta chỉ xét thị trường hàng hoá – dịch vụ nên tổng cung của nền kinh tế mức sản lượng, kết qủa sản xuất được coi là ngoại sinh và ký hiệu là Q. Tổng cung có thể được đo bằng tổng sản phẩm quốc nội GDP hoặc tổng thu nhập quốc gia GNI. Mô tả cầu Tổng cầu của nền kinh tế bao gồm các bộ phận cấu thành C Nhu cầu tiêu dùng của dân cư. I Nhu cầu cho đầu tư của dân cư. G Nhu cầu tiêu dùng của chính phủ - Chi tiêu chính phủ. EX Nhu cầu cho xuất khẩu. Ta có các phương trình hành vi sau đây mô tả quan hệ giữa các biến Tiêu dùng của dân cư được giả thiết là có một bộ phận không phụ thuộc vào thu nhập - phần tiêu dùng tự định C0 và phần phụ thuộc vào thu nhập khả dụng, như vậy ta có C = C0 + βY - T Trong đó Y thu nhập quốc dân, T thuế và giả thiết là C0 > 0, 0 0 Nếu nhập khẩu là IM, tổng cầu trong nước sẽ là C + I + G + EX – IM. Thuế T được giả thiết gồm khoản thuế thu nhập δY và các loại thuế khác γ, như vậy T = γ + δY với γ > 0, 0 0, 0 0 T = γ + δY với γ > 0, 0 0 G 1 - β + βδ Y - β = εY . Khi giảm 10% xuất khẩu, thu nhập giảm 10 εY %, tác động cuối cùng Y Y G EX G Y Y là thu nhập sẽ tăng 10εG - εEX %. Vậy ý kiến trên là không đúng. 37Bài giảng toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế 3. Mô hình kinh tế động.Đọc tham khảo Trong các mô hình đã đề cập, chúng ta chỉ xét các hoạt động kinh tế diễn ra tại cùng một thời điểm, yếu tố thời gian không có vai trò gì nên mô hình này gọi là mô hình tĩnh. Trong thực tế, hoạt động kinh tế thường diễn biến theo thời gian do đó có mối liên hệ giữa quá khứ, hiện tại, tương lai và như vậy yếu tố thời gian sẽ xuất hiện trong mô hình với tư cách là biến ngoại sinh. Các mô hình kinh tế có chứa biến thời gian gọi là mô hình kinh tế động. Trong mô hình động, mối liên hệ giữa các biến được xem xét ở các thời điểm khác nhau và để mô tả sự biến động của chúng theo thời gian - mô tả quỹ đạo của biến, thường là phải sử dụng phương trình vi phân hoặc sai phân với biến độc lập là biến thời gian t. Để phân tích mô hình động, chúng ta phải sử dụng các kiến thức liên quan tới phương trình vi phân. So với mô hình tĩnh, mô hình động phản ánh thực tế xác thực hơn nhưng cũng phức tạp hơn về cấu trúc. Để minh hoạ mô hình động và việc phân tích, ta xét hai mô hình đơn giản mô hình cân bằng giá dạng tuyến tính và mô hình tăng trưởng kinh tế Domar. a Mô hình cân bằng giá trường hợp tuyến tính +/ Đặt vấn đề Trong thực tế giá của một mặt hàng không tức khắc xác định tại điểm cân bằng. Theo thời gian, giá luôn được điều chỉnh bởi nhiều tác động, đặc biệt là do chêng lệch cung, cầu. Phải chăng quá trình tương tác giữa cung và cầu trên thị trường luôn dẫn đến giá cân bằng? Câu trả lời không hẳn như vậy. +/ Thiết lập mô hình Giả sử trên thị trường tại thời điển t, giá hàng hoá tác động đến cung, cầu như sau Mô hình a Dt = a – bpt a, b > 0 St = -c + dpt c, d > 0 Điều kiện cân bằng Dt = St Mô hình b Dt = a – bpt a, b > 0 St = -c + dpt-1 c, d > 0 Trong đó Dt, St, pt là mức cầu, mức cung, mức giá ở thời điểm t. pt-1 là mức giá ở thời điểm t -1. Điều kiện cân bằng Dt = St Giả thiết trong mô hình b có thể chấp nhận dễ dàng hơn trong mô hình a. Tuy vậy chúng ta chỉ cần bàn đến tính chất tồn tại giá cân bằng nên người học có thể tự tìm hiểu tình huống này. +/ Phân tích mô hình Từ các phương trình cung - cPTITầu và điều kiện cân bằng ta có a + c p = b + d Nếu tại t = 0 ta đã có p0 = p thì giá cân bằng ở mọi thời điểm. Nếu tại t = 0 mà p0 ≠ p thì theo quy luật thị trường tồn tại chênh lệch cung – cầu D - S, mức này gọi là mức dư cầu. Giả sử mức dư cầu tại t quyết định sự thay đổi của giá p sự thay đổi diễn ra theo thời gian và quan hệ này có dạng dp = kD - S với k > 0 dt Thay các hàm cung, cầu vào phương trình này ta có dp + kb - dp = ka + c dt 38

bài giảng toán kinh tế